אברהם אלבוקרק נולד באנקרה, תורכיה, ב-15 במארס 1924.
בהיותו כבן אחת עשרה עלתה משפחתו ארצה והתיישבה בפתח תקוה.
אברהם למד בבית הספר "נצח-ישראל". בשנת 1940 הצטרף לבית"ר, ובשנת 1943 מצא דרכו לאצ"ל. בין השאר השתתף בהתקפה על תחנת משטרת לוינסקי (נוה-שאנן) בתל-אביב.
ב-1944 נעצר על-ידי הבריטים ונכלא בלטרון, ואחר כך נכלל בשילוח הראשון של 251 העצורים העברים שהוגלו לאפריקה ב-19 באוקטובר 1944. כשמונה חודשים הוחזק במחנות המעצר סמבל שליד אסמרה באריתריאה וקרתאגו שבסודאן, ולאחר מכן שוחרר והוחזר ארצה.
ב"שבת השחורה" (ה-29 ביוני 1946), נעצר שוב ונשלח למחנה לטרון, ואחר כך למחנה עתלית, ומשם שוחרר ערב צאת הבריטים מן הארץ.
אברהם נשוי לאידה ולהם בת אחת ושלושה נכדים. הם מתגוררים בפתח תקוה.